СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1.1. Дискретный вариационный ряд

Дискретный признак X в процессе наблюдений может принимать значения xi, iÎ[1,n], которые отличаются друг от друга на некоторую конкретную величину (обычно целое значение или число с одним десятичным разрядом). Значения дискретного признака в ряде наблюдений могут совпадать. Различные значения xj, признака, где jÎ[1,p], p<n, называются Вариантами. По данным наблюдений за дискретным признаком строят дискретный вариационный ряд вида табл. 1.

Таблица 1. Дискретный вариационный ряд

Номер варианта

1

2

J

(p<n)

Варианты xj признака

x1

x2

xj

xp

Частота варианта mxj

mx1

mx2

mxj

mxp

Относительная частота wxj

wx1

wx2

wxj

wxp

Алгоритм 1. Построение ряда «Варианты признака»
Ряд "Варианты признака" (табл. 1, вторая строка) строится по ранжированному простому статистическому ряду:

Частота вариантаj, - это число, которое показывает, сколько раз встречается данный вариант хj признака, где (j = 1,2,..., р; р<n) в ряде наблюдений признака Х(хi), iÎ[1, n].,

        (1)

Сумма частот варианта mxj, (j = 1,2,..., р; р<n) равна общему количеству n наблюдений признака. Относительная частота варианта wxj - это число, которое определяет долю частоты варианта признака mxj в общем количестве наблюдений n. Значение относительной частоты варианта wxj вычисляется как отношение соответствующей частоты mxj к общему количеству наблюдений n.

,        (2)

где mxj – частота варианта xj (1).

Процесс вычислений частоты варианта признака по формуле (1) основан на применении алгоритма «Счет по условию».

Алгоритм 2. Счет по условию (определение (накопление) количества значений членов ряда xj, удовлетворяющих заданному условию, с применением встроенной логической функции ЕСЛИ)
Алгоритм основан на последовательном сравнении фиксированного значения xf со значением хi, где iÎ[1, n], в соответствии с заданным условием (хif ?), и накоплении количества (прибавления 1 или 0) в зависимости от того, выполняется данное условие (прибавляется 1) или нет (0). Определение (накопление) количества значений членов ряда хi, удовлетворяющих заданному условию, производится за n шагов. Начальное значение количества примем равным "нулю". Условия записываются с помощью Логического выражения, в котором сравниваются Числа, Функции, Формулы, Текстовые и Логические значения. На каждом шаге проверяется выполнение данного условия (значение логического выражения) и к предыдущему значению количества прибавляется 1, если логическое выражение имеет значение ИСТИНА, или 0 (логическое выражение имеет значение ЛОЖЬ). Проверка значения логического выражения производится с помощью встроенной функции ЕСЛИ. Результат выполнения операции сложения на последнем n-м шаге является значением искомого количества.

В электронной таблице алгоритм 2 "Счет по условию" реализуется следующим образом. Примем, что n=30 и значения ряда хi расположены в столбце С в ячейках диапазона (С2:С31). В ячейку С1 введем фиксированное значение хf (число). Для накопления количества членов ряда, удовлетворяющих условию, будем использовать столбец D. В ячейку D1 введем 0 – начальное значение количества. В следующей строке (строка 2), где находится значение первого элемента ряда x1 (ячейка С2), в ячейку D2 записывается формула =ЕСЛИ(С2=$С$1; D1+1;D1), в которой указывается относительный адрес предыдущего (начального) значения количества (D1), относительный адрес первого элемента заданного ряда (С2) и абсолютный адрес фиксированного значения $С$1, операция сравнения С2=$С$1 (логическое выражение). Если логическое выражение примет значение ИСТИНА, то значение в ячейке D2 будет на 1 больше, чем значение в ячейке D1. На втором шаге для сравнения значения второго элемента ряда (С3) с фиксированным значением (С1) в ячейку D3 необходимо ввести формулу, в которой следует изменить относительные адресные ссылки - указать адреса предыдущего накопленного количества (D2) и второго элемента (С3). Это может быть достигнуто с помощью копирования формулы из предыдущей ячейки D2 в ячейку D3. Продолжив копирование формулы на весь диапазон элементов ряда (С2:С31) до ячейки D31, определим количество значений элементов ряда, удовлетворяющих заданному условию. Результат выполнения алгоритма будет находиться в ячейке D31.

Алгоритм 3. Вычисление частот вариантов дискретного признака с применением встроенной статистической функции СЧЕТЕСЛИ

Встроенная статистическая функция СЧЕТЕСЛИ (диапазон; критерий) является эквивалентом алгоритма 2 "Счет по условию". Аргумент диапазон задает проверяемый диапазон (С2:С31), а критерии задает условие, которое должно проверяться в каждой ячейке этого диапазона. Конструкция критерий не является логическим выражением. Например, критерий, соответствующий условию xi=xf, можно записать в виде одной из следующих конструкций: числовое значение, соответствующее xf; последовательность знака оператора сравнения и числового значения; адресная ссылка на ячейку, где находится фиксированное значение xf. Функция =СЧЕТЕСЛИ(C2:C31;$С$1) определит количество ячеек в диапазоне, числовые значения в которых удовлетворяют заданному критерию xi=xf.
Для вычисления частот вариантов дискретного признака с применением встроенной статистической функции СЧЕТЕСЛИ необходимо выполнить следующую последовательность операций:

=СЧЕТЕСЛИ($F$2:$F$31;H2),

Статистические характеристики дискретного вариационного ряда

В качестве характеристик дискретного вариационного ряда в элементарной математической статистике применяют средние величины и показатели вариации. Формулы для расчета статистических характеристик дискретного вариационного ряда приведены в табл. 2.

Рассмотрим алгоритмы вычисления статистических характеристик дискретного вариационного ряда с применением встроенной математической функции СУММ и Массивов в качестве ее аргументов на примере вычисления значения средней арифметической членов дискретного вариационного ряда (3).

Алгоритм 4. Вычисление статистических характеристик дискретного вариационного ряда с применением встроенной математической функции СУММ и Массивов в качестве ее аргументов

Формула (3) для вычисления средней арифметической дискретного вариационного ряда представляет собой сумму произведений элементов с одинаковыми индексами для двух рядов – варианта признака и соответствующей ему частоты, деленную на количество признаков в простом статистическом ряду (n=30).

Для вычисления средней арифметической вариантов дискретного признака с применением встроенной математической функции СУММ необходимо выполнить следующую последовательность операций:

{=СУММ(K2:K11*L2:L11)/30}

Формулы для расчета статистических характеристик дискретного вариационного ряда

Средние величины

1. Средняя арифметическая сумма произведений значений вариантов xj и соответствующих им частот (mxj, wxj), деленная на количество значений признака n.

,         (3)

,         (4)

где mxj и wxj определяются по формулам (1) и (2) соответственно.

2. Средняя гармоническая - обратное значение средней из значений величин mxj/xj, (wxj/xj), где xj, mxj (wxj) - значения варианта признака и соответствующей ему частоты.

,     (5)

, (6)

где mxj. и wxj определяются по формулам (1) и (2) соответственно.

3. Логарифм из средней геометрической - средняя арифметическая из произведений логарифмов значений признака lnxj и соответствующих им частот mxj (wxj).

,     (7)

,         (8)

где mxj и wxj определяются по формулам (1) и (2) соответственно.

Показатели вариации

1. Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая произведений абсолютных величин отклонений вариантов признака xj от среднего арифметического и соответствующих им частот mxj (wxj)

,         (9)

,         (10)

где , mxj и wxj определяются по формулам (3), (1) и (2) соответственно.

2. Дисперсия - средняя арифметическая произведений квадрата отклонений варианта признака xj от среднего арифметического и соответствующих им частот mxj (wxj)

,         (11)

,         (12)

где , mxj и wxj определяются по формулам (3), (1) и (2) соответственно.

3. Среднее квадратическое отклонение - корень квадратный от дисперсии.

,         (13)

,         (14)

,         (15)

,         (16)

где x, mxj и wxj определяются по формулам (3), (1) и (2) соответственно.